Вільні коливання ортотропних пластин

Abstract

Отримано рішення задачі про власні коливання прямокутної ортотропної пластини без будь-яких обмежень на характер закріплення її сторін. Отримано трансцендентне частотне рівняння, коріння якого дають повний спектр власних частот. Виконано моделювання та розрахунки ортотропної пластини методом скінчених елементів. Аналіз чисельних результатів, отриманих авторським методом, показує дуже гарну їхню збіжність із результатами скінчено-елементного аналізу. Для пластини із жорстким закріпленням трьох сторін при вільній четвертій стороні розбіжність трохи вище, чим для пластини із шарнірним обпиранням по контуру. При обох варіантах граничних умов спектр частот, обчислених методом граничних елементів, нижче, чим при розрахунках методом скінчених елементів. Отримано аналітичні вирази фундаментальних функцій, які відповідають усім можливим варіантам рішення диференціального рівняння вільних коливань. Вперше наведено рішення завдання про вільні коливання прямокутної ортотропної пластини чисельно-аналітичним методом граничних елементів. Результати дозволяють розв’язати задачу про вільні коливання прямокутної ортотропної пластини двома методами за будь-яких граничних умов, в тому числі, і неоднорідних.

Получено решение задачи о собственных колебаниях прямоугольной ортотропной пластины без любых ограничений на характер закрепления ее сторон. Получено трансцендентное частотное уравнение, корни которого дают полный спектр собственных частот. Выполнено моделирование и расчеты ортотропной пластины методом конечных элементов. Анализ численных результатов, полученных авторским методом, показывает очень хорошую их сходимость с результатами конечно-элементного анализа. Для пластины с жестким закреплением трех сторон при свободной четвертой стороне расхождение несколько выше, чем для пластины с шарнирным опиранием по контуру. При обоих вариантах граничных условий спектр частот, рассчитанных методом граничных элементов, ниже, чем при расчетах методом конечных элементов. Получены аналитические выражения фундаментальных функций, которые отвечают всем возможным вариантам решения дифференциального уравнения свободных колебаний. Впервые приведено решение задачи о свободных колебаниях прямоугольной ортотропной пластины численно-аналитическим методом граничных элементов. Результаты позволяют решить задачу о свободных колебаниях прямоугольной ортотропной пластины двумя методами при любых граничных условиях, в том числе, и неоднородных.

The solution of the problem of free vibrations of a rectangular orthotropic plate by the methods of boundary and finite elements under any boundary conditions. Transformation of the two-dimensional differential equation of free vibrations of an orthotropic rectangular plate to one-dimensional. Determination of the complete system of its fundamental solutions using the numerical-analytical method of boundary elements. Implementation of the algorithm on the example of a specific plate and comparison with the results of finite element analysis in ANSYS. The solution to the problem of natural vibrations of a rectangular orthotropic plate is obtained without any restrictions on the nature of the fixing of its sides. A transcendental frequency equation is obtained whose roots give the full spectrum of natural frequencies. The modeling and calculations of the orthotropic plate by the finite element method are performed. An analysis of the numerical results obtained by the author's method shows a very good convergence with the results of finite element analysis. For a plate with rigid fastening of three sides with a free fourth side, the discrepancy is slightly higher than for a plate with a hinged support along the contour. Under both variants of the boundary conditions, the frequency spectrum calculated by the boundary element method is lower than in the finite element calculations. Analytical expressions of fundamental functions are obtained that correspond to all possible solutions to the differential equation of free oscillations. For the first time, a solution to the problem of free vibrations of a rectangular orthotropic plate is presented by the numerical-analytical method of boundary elements. The results allow us to solve the problem of free vibrations of a rectangular orthotropic plate by two methods under any boundary conditions, including inhomogeneous ones.